数学や物理の「理解」と「計算できる」の間にはどれぐらいの差があるか考察した

学校教育
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理解と計算の間の差

高校~大学の数学、というか計算全般に関しての記事です。

大学で一応いろんな学問を学び、仮にも授業料が全額免除される成績を取ったこともある私ですが、

この前大学1年のときの線形代数だとか微分積分を復習してみたら、「ここ計算方法わかってたけどその意味は知らなかったな」って現象にたくさん出くわしたんですよ。

それで、「理解している」と「計算方法がわかる」は一体どんなふうにつながってるか、はたまたつながってないのか、ちょっと考えてみたいんです。

「計算方法がわかること」は「理解していること」の必要条件か

理解と計算、どちらが高尚ですかと聞かれれば、多くの人は理解のほうだと答えるでしょう。

計算を手でなぞるだけならだれでもできるし、ツールに任せればよいのです。

しかし理解するのは人間しかできません。

理解しておけば応用がききますし、忘れにくくなります。そういうわけで「理解のほうが上だ」という価値観があるようです。

私もその一人です。見出しのような考え方は素直に見えます。

でも、こういう「一見論理がつながってそうな時」ほど警戒しなければなりません。計算と理解でレベルに差があるとして、

「計算方法を知らないけど、理解している」ということはないのか?

言い換えれば「理解には計算方法の習熟が必ず必要なのか?」という問題です。

これは考える価値があるように思います。

計算と理解が繋がっていることの体験談

まず、私が学んでいて体験したことをお話しします。

大学数学に触れた方なら「勾配」「発散」「回転」について学ぶでしょう。ベクトル解析の授業ですね。

(聞いたことがなければ、適当に高校数学の用語に置き換えてください。「微分」「積分」「三角関数」なんでもいいですよ)

これらの操作はまず「偏微分」という概念を知った上で、なおかつそれぞれが何を意味するのか理解してから行う…というのが、大学の授業の建前なわけですね。

計算方法は理解のためにあるのであって、計算だけ習熟したいわけではない、と。

ところがそれが難しいんです。

まず何が大変かというと、自分がこれまで全く知らなかった概念なわけですから、間違えずについていくだけで精いっぱい

そのうえ高校とはくらべものにならないほど計算も複雑なので、脳の回路は焼き切れそうです。

そういう経験は皆さんもあったかと思いますが、どうでしたか、その後、その概念について「理解」できましたか。

私は不思議なことに、何度も何度も計算して、テスト勉強のために演習問題を何周かしていたときに「その瞬間」が訪れました。

今まで行ってきた操作(計算)の物理的な意味が手に取るように、味わうように分かったのです。それはまさしく理解でした。

無味乾燥な数式の上に踊り勇む「意味」を見出すことに成功しました。

それからは「勾配」「発散」「回転」についての物理的イメージが数式と強く結びつき、忘れることは決してなくなりました。

要するに私の体験では「計算をし続けて習熟したら、なぜか理解が進んだ」のだと。これはなかなかに不思議なことですね。計算方法と理解は別の領域なのに。

不思議ではありますが、ここである仮定をしてみましょう。

私が計算方法に習熟せず、それらの概念について理解できたのか?と。

皆さんも考えてみてください。計算の習熟の結果理解できた様々なものごとを、計算することなく理解できるのか、と。

当然、その仮定は現実に比して無意味ではあります。何かをやった結果について、何かをやらなかった仮定を設けて解釈することはできません。

「計算した自分」と「計算しなかった自分」は同時に存在し得ず、また同じ人生で記憶を消して実験をやり直すこともできないため、効果が測定できないのです。

このような問題を「ホランドの根源的な因果推論」と言います。

無意味ではあることを承知で先に進みます。しょうがないので。

理解は計算方法がわかることの必要条件か

あえて因果を逆にして論じることも可能でしょう。

例えばこういうこともあります。

熱力学の話になるのですが、今まで計算で一体何をしているのかがわからず、一向にやり方が頭に入ってきませんでした。

問題に応じて丸暗記をするにはあまりに効率が悪い、でもテストは近づいてきている…。

私は助けを求めて、用語の意味を調べまくり、いったいどんな計算をしてその量を出すのか、なぜその量が必要なのかを理解することに努めました。

すると、今まで意味がなかったそれらの計算に、色がついて見えたのです。なるほど、こういう流れで計算が進むのか。

この部分は大事だけど、こっちはただのテクニックだ…。

こういう現象も、もしかしたら皆さんにあるかもしれませんね。

さっきの話とは逆になりまして「理解できたから計算方法がわかった」

けっこうあり得る話だと思います。

理解は本当に計算が必要なのか

あるいは以下のようなエピソードもあるかもしれません。

私は人工知能だとか機械学習だとかビッグデータとか…一般人が意味を間違えて使いがちな用語について、注意深くその意味を調べました。

そうして、中でどのような演算を行っているのか、あるいは、どんな演算を行うものをこう呼ぶのか、かなり気にかけてきました。

その詳細は話の本質でないので省きますが、とりあえず「計算方法(どうプログラミングするか)は抜きにして、何をやっているかを一般人に説明できる」状況なんですね。

これは理解していると言っていいのではないでしょうか。

もちろん、その仕事に就くならばさらなる理解は必要ですが、それはもはやプログラミングだとか数式の話になってきます。

私のような一般人ができるようになる必要性も薄いです。それぐらいの理解でいいならば、計算方法がわかる必要はありませんよね。

こうやって論じると「理解には計算の習熟が必要である」という論も、けっこう嘘くさく感じてくるものです。いったいどっちが正しいのでしょう。

理解するために計算が必要なのか、計算のために理解が必要なのか。

私が取った答えは…

理解も計算も、根本の部分ではつながっている

理解と計算、どちらが本質、ということはない

というのが私の出した結論です。

まず物事を理解することは、どんな手続きで物事が進んでいくのかを知る手掛かりになります。

箱の中身がブラックボックスである場合、箱でどんな演算が行われているのかを知るだけでも、だいぶ違うものです。

取り組む意欲とか。

数学チックな言い方ですが、そんなに難しい話はしていません。

料理だって同じですよ。砂糖大さじ1を加えて5分煮立たせ、その後塩適量を入れてください…ってレシピがあるとするじゃないですか。

これは「手順」なので、計算方法と同じですよね。

なんで砂糖を先に加えるのか理解しておけば、レシピを忘れにくくなります。

ですが、理解を先にする方法は弱点があります。実践に役立ちにくいのです。

人工知能の例を取り上げます。私はそれらについて、どういう演算を行っているのか、一般人よりもかなり詳しく知っています。

ですが、原理だけ知っていて「じゃあハイ、Python(プログラミング言語)あげるので、今からプログラム作ってください。教師データはこのフォルダに…」と言われても困ります。

理解していることと、計算ができることはまた(表面的には)別なのです。

実際にやってみなければわからないことは山ほどあります。それを「些末」という言葉で片づけるのはもったいないですね。

一方で、計算方法から先にやる方法は、理解していなくても実践はとりあえずできます。

中で何をやってるのかはわからないけど、これを知っておけば○○に役立つ、と。私が受けてきた授業の知識の多くはこれでした。

工学寄りの学科だからか、理論について教えることがなかったのかもしれません。証明もしていない気がします。

あるいはもう少し難度の低い例をあげますと、筆算の方法なんかまさにそうですね。

試験について電卓の使用が当たり前に認められているところがあります。どこの国が、とか書くと例外事項が出そうなのでググってほしいのですが、とりあえず日本とは全く違いますよね。

日本の入試では原則、電卓は認められていません。

ですが、筆算しようが電卓使おうが、出てくる結果は同じなんですよ。

じゃあ問題ないかといえばそんなこともなくて、

例えば電卓しか使わない人に「なんで電卓を使えば答えがこうやって出てくるの?2桁+2桁の計算ってどういう原理?」と聞いたところで「いやごめん…習ってないし」という答えが返ってくるでしょう。

かたや日本人はどうでしょうか。曲がりなりにもみんな、2桁たす2桁の計算はできますから、電卓しか使わない国よりも「原理」を理解している人は多いと思われます。

この部分が一の位で、そして一の位が10個集まると十の位にアップして…って、皆さん説明できますよね?なんで桁が上がるのか、わかりますよね?

ですが同じことを皆さんが小学2年の時に聞いても、うまく答えられないでしょう(教職についていましたが、答えられないお子さんはやはり多いです。

小学3年になってからはさすが答えてくれます)。

そのときは「なんとなく、そうする」としか思っていなかったのに、何度も数をこなすと理由がわかってくるのです。

あぁ、だからこうやって桁が上がるのか、と。

計算の習熟が、理解をはぐくむのです。

理解と計算は相互に関連している

つまり、理解と計算は相互に関連し合っていて、理解できれば計算の意味がわかるし、計算の意味がわかれば、理解するだけの頭の余裕が出てくるんです。

どちらが本質ということはないでしょう。ただ、それらは必要条件でしかありません。

どちらかしか満たしていないことも十分ありますよね。

だから私の考えでは、その両方をきちんとしておくことが大事だと思います。

とはいえ時間はないので、「原理だけ簡単に理解する」でも「計算方法だけ」でも構いません。物事を理解する上での理想論は、両方、ということで。

何かのプロになるのなら、理論も実践も両方、しておくのがいい。

当たり前の結論ですが、推論でそれを導けたのはよかったです。参考までに。

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